TRIÂNGULO RETÂNGULO - TEOREMA DE PITÁGORAS

 O Triângulo Retângulo 3, 4 e 5 (catetos e hipotenusa) é o único que tem todos os valores dos lados, números inteiros consecutivos, o que forma o Teorema de Pitágoras:

a² = b²+ c²

onde a hipotenusa (maior parte do triângulo retângulo é igual a soma dos catetos ( outros dois lados), tudo elevado a 2.

HISTÓRIA DA GEOMETRIA

 As primeiras noções de Geometria estavam ligadas ao dia a dia das pessoas. Objetos e formas geográficas demonstravam diferentes formatos e tamanhos, o que fez surgir às primeiras ideias sobre Geometria, inclusive a própria palavra, uma vez que geo, em grego, significa terra; e metria significa medida.  Logo, o termo Geometria, para os gregos era compreendido como “medida da terra” (EVES, 1997).

A origem da Geometria, para Eves (1997), está ligada às necessidades do homem nos primeiros tempos. Corroborando com este entendimento, Boyer (1974 apud TONIN, 2008), explica que as cheias do rio Nilo, no Egito antigo, inundavam o seu delta, o que de um lado era bom, porque irrigava a terra tornando-a mais produtiva, mas por outro lado destruía as marcas de delimitação entre as propriedades, o que trazia muitos problemas aos agricultores. Buscando resolver o entrave, os faraós ordenaram que servos restabelecessem as fronteiras entre as propriedades, usando cordas entrelaçadas para marcar ângulos retos, nascendo os primeiros indícios da Geometria.

É importante ressaltar que naquela época (como na atualidade) o tamanho da propriedade rural estava vinculado ao valor do imposto pago por seu proprietário, de modo que a demarcação da área era de suma importância (PARANÁ, 2008).

De acordo com Eves (1997, p. 4), esses rudimentos de Geometria foram usados também nas bacias dos rios “Tigre e o Eufrates na Mesopotâmia, o Indu e o Ganges na região centro-sul da Ásia e o Hwang Ho e Yangtzé na Ásia Oriental”. 

Os babilônios há aproximadamente 2000 anos a. C. também demonstravam o conhecimento rudimentar de conceitos geométricos – congruência e simetria – para demarcar seus territórios (FAZENDA, 2001).

Segundo Anastácio (2010), os papiros Moscou e Rind, com textos matemáticos de aproximadamente 1850 a.C. e 165 a.C., respectivamente, demonstram o conhecimento dos egípcios sobre triângulos, trapézios, retângulos e quadriláteros (embora não tivessem esta denominação). Mesmo a própria construção das pirâmides evidencia o uso do raciocínio indutivo, método que se fundamenta no estudo experimental de partes do fenômeno para chegar a generalizações, que leva a formulação de princípios.

Esta mesma ideia constituiu a Matemática na Grécia Antiga. Tales de Mileto (624-547 a.C.) foi o primeiro a usar propriedades das figuras geométricas para  determinar a distância entre pontos da Terra. Posteriormente, Platão observou a necessidade de demonstrar os conceitos dedutivos da Geometria, porém foi seu discípulo Euclides de Alexandria (325 - 285 a.C.), quem apresentou um método rigoroso de demonstração desses conceitos, que foi sintetizado e apresentado no seu tratado “Elementos”, formado por 13 volumes (EVES, 1997).

Neste contexto, Anastácio (2010, p. 6) explica:

 

A teoria grega se constitui sobre um mundo das ideias ou das formas, ordenado pelas regras da Geometria e um mundo da natureza, sob a ordem do movimento logicamente ordenado. A ciência grega é a descrição dessas duas ordens, consubstanciadas na Teoria das Ideias de Platão, na Geometria de Euclides e na Física de Aristóteles.

 

Assim, na Grécia, a Geometria deixou de atender somente as necessidades do dia a dia do homem para tornar-se uma ciência teórica, que tem como objeto as figuras como retângulos, cubos, esferas, dentre outras. Segundo Gerdes (1992, p. 17):

 

A Geometria nasceu como uma ciência empírica ou experimental. Na confrontação com o seu meio ambiente o homem da Antiga Idade da Pedra chegou aos primeiros conhecimentos geométricos. O processo da aquisição pelo trabalho de imagens abstratas das relações espaciais entre os objetos físicos e as suas partes decorreu, primeiro, de uma forma extremamente lenta. Depois de ter sido reunido suficiente material factual respeitante às formas espaciais mais simples, tornou-se possível, sob condições sociais especiais, como, por exemplo, no Egito antigo, Mesopotâmia e China, sistematizar consideravelmente o material factual recolhido. Com isso começou a transformação da geometria de uma ciência empírica numa ciência matemática.

 

Durante séculos a Geometria Euclidiana foi sendo testada e algumas vezes contestada, no entanto seus principais conceitos não foram abandonados. No século XVIII, Gauss, Bolyai e Lobachewsky descobriram conceitos geométricos diferentes de Euclides. Mais tarde, outros estudiosos acrescentaram novos conceitos à disciplina, mas a Geometria continuou a ser usada para resolver problemas do dia a dia do homem (EVES, 1997).

D´Ambrósio (1993, p. 35) afirma que, de uma forma geral, a Geometria e a Matemática, até meados do século XX, tinham a rigidez de seus resultados e procedimentos questionados, considerando-se que essas disciplinas sempre se fundamentaram em operações aritméticas, procedimentos algébricos, definições e teoremas geométricos fixos e definitivos, o que as tornaram matérias isoladas nos currículos escolares. Além disso, eram vistas como uma “coleção de verdades a ser absorvida pelos alunos, uma disciplina cumulativa, predeterminada e incontestável”.

Contudo, esta concepção passou a ser mais contestada no século XXI, que defende a importância das relações sociais para a construção do conhecimento, inclusive da Geometria. Para Monteiro e Almeida (2010, p. 44-45):

 

O paradigma euclidiano da Matemática vista como um corpo de conhecimento objetivo, absoluto, irretificável e rigidamente hierárquico está cada vez mais sendo posto em questão. Esta nova tradição [...] é quase empirista e falibilista em sua epistemologia, deslocando, desse modo, a Matemática de seu lugar em que era vista como a pedra fundamental do absolutismo.

 

Corroborando com esta visão, D´Ambrósio (1993, p. 35) acrescenta que a Matemática e a Geometria evoluem através do “processo humano e criativo de geração de ideias e do subsequente processo social de negociação de significados, simbolização, refutação e formalização”. 

PARALELISMO DA RETA E DO PLANO

Paralelismo é um estudo a respeito de posições relativas entre retas e planos com foco nas propriedades resultantes dessas posições e das interações entre esses elementos.

Retas paralelas

Dizemos que duas retas são paralelas quando estão contidas no mesmo plano e não há ponto em comum entre elas. Graficamente, essas retas podem ser representadas por duas linhas distintas com mesma direção e sentido.

Representação gráfica de retas paralelas no plano

Quando duas retas são paralelas, qualquer reta contida no mesmo plano que corte a primeira também cortará a segunda e formará os mesmos ângulos correspondentes. 

Reta paralela ao plano

Também existe a possibilidade de analisar o paralelismo entre uma reta e um plano. A ideia é idêntica à anterior: uma reta e um plano são paralelos quando não possuem pontos em comum. Considere uma reta r fora do plano α. Se existir uma reta pertencente a esse plano paralela a r, então, r será paralela ao plano α.

Representação gráfica de uma reta paralela a um plano

Sendo assim, quando uma reta é paralela a um plano, podemos dizer que ela é paralela a pelo menos uma reta que pertence a esse plano.

Planos paralelos

A definição é a mesma: dois planos são paralelos quando não possuem ponto em comum. As propriedades variam, uma vez que há variação na natureza de uma das figuras:

• Quando dois planos são paralelos, qualquer reta que pertença a um deles é paralela ao outro. Sendo assim, sempre existirá uma reta no segundo plano paralela a uma reta qualquer do primeiro;
• Uma reta que é secante a um de dois ou mais planos paralelos é secante aos outros também;
• Quando um plano contém duas retas concorrentes, ambas paralelas a um segundo plano, esses dois planos também são paralelos;
• Quando dois planos paralelos são cortados por um terceiro plano, as intersecções entre os planos paralelos e o plano secante são retas paralelas.

GEOMETRIA ANALÍTICA

 Geometria Analítica estabelece conexões entre geometria e álgebra, de modo que os conceitos da geometria são analisados por meio de processos algébricos. Ela foi criada pelo matemático francês René Descartes e, por isso, também é chamada de geometria cartesiana.

A base da geometria analítica está em representar os pontos de uma reta utilizando os números reais. Cada ponto de uma reta é representado por (ou representa) um único número real. Esse número real é obtido pela distância entre o referido ponto e a origem da reta, que é o ponto relacionado com o número zero.

O conceito de distância, portanto, é um dos mais importantes dentro da Geometria Analítica.  A maioria das definições algébricas de figuras geométricas é obtida por intermédio do conceito de distância.

Exemplo de representação do ponto de uma reta por um número real

Posteriormente, essa ideia foi expandida para a representação de pontos no plano, de modo que cada ponto do plano é representado por um único par de números reais conhecido como par ordenado. A imagem abaixo ilustra como o par ordenado (2,1) representa o ponto A.

Exemplo da representação de um ponto no plano por um par de números reais

Já, os pontos do espaço são representados por um conjunto de três números reais, conhecidos como ternos ordenados. Cada terno ordenado representa apenas um único ponto no espaço.

Exemplo da representação de um ponto no espaço por um terno ordenado

Se um ponto pertence a uma reta e é representado por um número real, dizemos que o espaço onde esse ponto está localizado (a reta) possui apenas uma dimensão e o número real é chamado de coordenada do ponto.

Caso o ponto pertença a um plano, é representado por um par de números reais. O espaço onde está localizado (o plano) possui duas dimensões e esse ponto possui duas coordenadas.

Desse modo, o número de coordenadas que um ponto possui é igual ao número de dimensões que possui o espaço onde esse ponto está localizado. O ponto pertencente ao espaço tridimensional, por exemplo, possuirá três dimensões e será representado por três coordenadas. A figura acima retrata o ponto A, que pertence ao espaço tridimensional e é representado pelo terno ordenado (x,y,z).

Qualquer objeto matemático, figura geométrica, forma, etc., que esteja no espaço pode ser representado geometricamente por um desenho ou algebricamente por uma fórmula matemática. Essa fórmula é o que materializa a Geometria Analítica e conecta a geometria à álgebra.

TIPOS DE RETA

Retas são figuras geométricas primitivas formadas por conjuntos de pontos. O fato de serem primitivas significa que não existe uma definição para elas, contudo, aceitamos que retas são linhas que não fazem curva. 

As retas são infinitas. Isso significa que, dados dois pontos distintos de uma reta, sempre existirá um ponto entre eles também pertencente a essa reta. O resultado disso é que as retas possuem comprimento infinito. Dessa maneira, caso caminhássemos sobre uma reta a fim de encontrar seu último ponto, jamais terminaríamos a caminhada.

Para desenhar uma reta, só são necessários dois pontos. Esse é mais um postulado proveniente da geometria.

Uma reta é uma figura geométrica que possui uma única dimensão. Isso significa que só é possível tomar uma medida de qualquer objeto definido dentro de uma reta. Essa medida é o comprimento, e os possíveis objetos, além do ponto, são:

Semirretas

Uma semirreta é uma parte da reta obtida da seguinte maneira: sobre uma reta qualquer, desenhe os pontos A e B, de modo que o ponto A faça um corte na reta. O pedaço da reta que se inicia em A e segue em direção ao ponto B (e, é claro, continua infinitamente após ele) é chamado de semirreta. Dessa maneira, pode-se comparar uma semirreta à metade de uma reta.

Segmento de reta

Segmentos de reta possuem fundamentos parecidos com o da semirreta. A diferença está no fato de o segmento de reta possuir início e fim, diferentemente da semirreta, que só possui um ponto de início, mas não possui fim.

Um segmento de reta é apenas uma parte da reta. Ele pode ser obtido desenhando-se os pontos A e B sobre uma reta qualquer. Tanto o ponto A quanto B fazem um corte na reta e o pedaço dela que vai do ponto A até o ponto B é chamado de segmento de reta. Observe

Classificação de retas

Duas retas podem ser classificadas de acordo com a quantidade de pontos que possuem em comum. Observe:

Retas paralelas: não possuem nenhum ponto em comum:

Retas transversais: possuem um único ponto em comum. O exemplo mais importante de retas transversais são as retas perpendiculares, que são aquelas que formam um ângulo de 90°.

Retas coincidentes: possuem dois pontos em comum. Existe um resultado que garante que quaisquer retas que possuam dois ou mais pontos em comum serão a mesma reta. Dessa maneira, se duas retas possuem dois pontos em comum, então desde o início existia uma única reta.

PERÍMETRO DOS POLÍGONOS REGULARES

Perímetro é uma medida observada em figuras geométricas planas, isto é, figuras bidimensionais. Ele é definido como a medida do contorno de uma figura geométrica, logo, é uma medida de comprimento.

O método usado para obter o perímetro varia de figura para figura, mas a maneira mais óbvia de encontrar esse comprimento é medir com régua, trena, metro ou qualquer outro objeto que possa ser usado para esse tipo de medida. Entretanto, as propriedades das figuras geométricas podem ser usadas para dar mais precisão à medida e acelerar o processo de encontrá-la.

Perímetro de polígonos

Os polígonos são figuras geométricas planas fechadas, formadas por lados que são segmentos de retas. Esses segmentos não podem se cruzar e se encontram apenas em suas extremidades.

O perímetro de um polígono é dado pela soma das medidas dos seus lados. É possível usar essa propriedade para todo polígono, uma vez que os lados dos polígonos sempre serão segmentos de reta.

O perímetro do quadrilátero a seguir, com lados medindo 2 cm, 3 cm, 5 cm e 6 cm, possui perímetro igual a 2 + 3 + 5 + 6 = 16 cm.

Perímetro do retângulo

Os retângulos são paralelogramos, ou seja, possuem lados opostos paralelos e congruentes. Logo, para descobrir a medida do perímetro de um retângulo, é necessário apenas que duas de suas medidas não paralelas sejam conhecidas. As outras duas terão as mesmas medidas, pois, em um retângulo, lados opostos são paralelos.

Exemplo – O perímetro de um retângulo que possui base igual a 10 cm e altura igual a 20 cm é:

10 + 10 + 20 + 20 = 100 cm

Perímetro do polígono regular

Um polígono regular é aquele que apresenta todos os lados congruentes e no qual todos os ângulos internos possuem a mesma medida.

Como os lados de um polígono regular são congruentes, devemos apenas conhecer a medida de um de seus lados para calcular seu perímetro. Portanto, dado um polígono regular de n lados, com o comprimento de cada lado igual a s, seu perímetro será igual a:

P = n·s

Isso significa que basta multiplicar o número de lados do polígono pelo comprimento de cada lado.

OS POLÍGONOS REGULARES

Polígonos são figuras fechadas formadas por segmentos de reta e são caracterizados pelos seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados. De acordo com o número de lados, a figura é nomeada.

Classificação dos polígonos

Lados: Nomes - 3: Triângulo;  4: Quadrilátero;   5: Pentágono;   6: Hexágono;  7: Heptágono; 8: Octógono;  9: Eneágon;o 10: Decágono; 11: Hendecágono (Undecágono); 12: Dodecágono; 15: Pentadecágono; 20: Icoságono.

Polígonos convexos e não convexos

Se os ângulos do polígono forem menores que 180º, ele será convexo. Caso tenha um ângulo com medida maior que 180º, ele será não convexo ou côncavo.

Polígono regular e irregular
Todo polígono regular possui os lados e os ângulos com medidas iguais.

CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA

Círculo e circunferência são duas figuras geométricas muito parecidas, o que pode ocasionar dúvidas sobre as suas definições. 

Definição de circunferência

Uma circunferência é um conjunto de pontos pertencentes ao plano que, dado um ponto fixo C, possuem a mesma distância até o ponto C. Em outras palavras, dada a distância “r” e o ponto fixo C, qualquer ponto A que possui a distância de A até C igual a r é um ponto pertencente à circunferência. Matematicamente, podemos representar essa última relação da seguinte maneira:

d_AC = r

Tendo em vista a distância entre dois pontos obtida na Geometria Analítica e considerando as coordenadas de A (x,y) e de C (a,b), a relação acima pode ser reescrita da seguinte maneira:

d_AC = r

√[(a – x)² + (b – y)²] = r

(a – x)² + (b – y)² = r²

Na Geometria Analítica, essa equação é chamada de equação da circunferência com centro C (a,b) e raio r.

O ponto C é conhecido como centro da circunferência e a distância r é chamada de raio. A figura geométrica formada por um conjunto de pontos desse tipo é a seguinte:

Circunferência de centro C e raio r

O ponto C não pertence à circunferência, pois a circunferência é apenas o círculo verde. O ponto A, por sua vez, pertence à circunferência.
 

Definição de círculo

O círculo, por sua vez, é uma figura geométrica plana que é definida da seguinte maneira:

Círculo é o conjunto de pontos resultantes da união entre uma circunferência e seus pontos internos. Em outras palavras, o círculo é a área cuja fronteira é uma circunferência.

Círculo: área colorida

Tomando novamente os conhecimentos vindos da Geometria Analítica, a equação do círculo é praticamente igual à equação da circunferência. A diferença encontra-se no fato de o círculo ser um conjunto de pontos menor ou igual ao raio. A partir disso, temos a seguinte equação:

d_AC ≤ r

√[(a – x)² + (b – y)²] ≤ r

(a – x)² + (b – y)² ≤ r²

Dessa maneira, a diferença fundamental entre círculo e circunferência é que o círculo é toda a área interna de uma circunferência. Já essa última é apenas o contorno de um círculo.

Propriedades básicas do círculo e da circunferência

O ponto C, centro da circunferência, não pertence a ela, mas pertence ao círculo. Dessa maneira, dado um ponto A qualquer (lembrando que d_AC é a distância entre A e C), as posições relativas entre A e uma circunferência são:

1 – A é ponto da circunferência, se d_AC = r;
2 – A é ponto externo à circunferência, se d_AC > r;
3 – A é ponto interno à circunferência, se d_AC < r;

As posições relativas entre A e o círculo são:

1 – A é ponto do círculo, se d_AC ≤ r
2 – A é ponto externo ao círculo, se d_AC > r

Qualquer segmento que liga dois pontos pertencentes a uma circunferência é chamado de corda. Quando uma corda contém o centro da circunferência, ela também é chamada de diâmetro. Desse modo, o diâmetro tem o comprimento igual ao comprimento de dois raios e, além disso, é a maior corda encontrada em qualquer circunferência.

Circunferência contendo um exemplo de corda e um exemplo de diâmetro 

Dividindo o comprimento de uma circunferência pelo comprimento de seu raio, o número encontrado sempre será, aproximadamente, 6,28. Dessa maneira, pode-se escrever a seguinte relação:

C = 6,28
r          

Dividindo ambos os membros por 2, obtemos o seguinte resultado:

C = 3,14
2r          

Esse resultado é o mesmo da divisão anterior, mas realizado com o diâmetro da circunferência no lugar do raio. Dessa maneira, é possível encontrar o comprimento de uma circunferência tendo em mãos apenas o comprimento de seu raio (ou diâmetro). Assim, é possível definir a fórmula para o comprimento da circunferência:

C = 2πr, em que π é aproximadamente 3,14

O mesmo se aplica ao cálculo do comprimento ou perímetro de um círculo. Contudo, não é possível calcular a área de uma circunferência. A área que é calculada, na realidade, é a área do círculo, e a fórmula utilizada para isso é a seguinte:

A = π.r²

CONCEITOS BÁSICOS DE GEOMETRIA

Euclides estudou os elementos primitivos (ponto, reta e plano) e formulou a Geometria Euclidiana. 

Ponto: o ponto pode ser algo localizado no espaço, como um furo, uma estrela no céu, o centro do campo de futebol, etc.; 

Reta: podemos dizer que a reta é formada por infinitos pontos, como uma caneta, uma corda esticada, lados de um campo de futebol, as traves do gol, os raios solares, etc.; 

Plano: a superfície de uma parede, o chão, um quadro, universo, etc..

Representamos o ponto por qualquer letra maiúscula do alfabeto, a reta por qualquer letra minúscula e o plano por letras gregas (α: alfa, β: beta e γ: gama).